Monte Carlo en ingénierie et mathématiques : simuler pour analyser et mieux décider

Introduction

En ingénierie, en mathématiques, et dans de nombreux autres domaines, les simulations de Monte Carlo sont largement utilisées, notamment pour optimiser des fonctions, estimer des probabilités difficiles à calculer analytiquement, ou encore pour réaliser des intégrations numériques grâce à l’échantillonnage aléatoire. Dans ce blog, la méthode sera d’abord présentée et expliquée, puis appliquée à différents cas : estimation d’une probabilité, calcul d’intégrale ou estimation de surface, et enfin approximation de la valeur de π. Cette démarche offrira au lecteur une compréhension concrète de la puissance de cette méthode.

Origine et fondement de la méthode de Monte Carlo

La méthode de Monte Carlo tire son nom du célèbre casino de Monte Carlo, en référence au rôle central du hasard dans les jeux de chance. Elle consiste à générer aléatoirement un grand nombre de valeurs, puis à observer leur comportement pour estimer des quantités difficiles à calculer de manière exacte, comme des probabilités, des intégrales ou des solutions d’optimisation. Cette méthode repose sur la loi des grands nombres : plus le nombre de simulations est élevé, plus l’estimation obtenue tend à se rapprocher de la valeur réelle.

Estimer une probabilité grâce à la méthode de Monte Carlo

Supposons que l’on joue à la loterie et que l’on souhaite estimer la probabilité de réaliser un bénéfice en misant, par exemple, sur n boules différentes, n variant de 0 à 99. On sait que trois boules seront tirées au hasard avec remise, et que les gains associés sont les suivants : la première rapporte 50 fois la mise, la deuxième 20 fois, et la troisième 10 fois.

Un tel problème pourrait théoriquement être résolu à l’aide de l’analyse combinatoire et du calcul des probabilités, comme on l’apprend à l’école. Toutefois, cette tâche est colossale à résoudre analytiquement. En revanche, une simulation Monte Carlo permet de l’aborder de manière beaucoup plus simple et intuitive. L’idée générale consiste à simuler un grand nombre de tirages de loterie, et à observer dans combien de cas on parvient à faire un bénéfice. À l’aide d’un ordinateur, on peut par exemple procéder ainsi :

1. Sélectionner aléatoirement n numéros

2. Initialiser un compteur n_gain à zéro

3. Répéter n_simulations fois 

{

Tirer 3 numéros aléatoires entre 0 et 99 (avec répétition possible)

Initialiser gain à 0

Si le premier numéro tiré est dans les numéros joués → ajouter 50 au gain

Si le deuxième numéro tiré est dans les numéros joués → ajouter 20 au gain

Si le troisième numéro tiré est dans les numéros joués → ajouter 10 au gain

Si le gain est supérieur au nombre de numéros joués n → incrémenter n_gain

}

4. Calculer la probabilité de rentabilité :
probabilité = n_gain / n_simulations

En appliquant cet algorithme, on obtient les probabilités représentées dans le graphique ci-dessus, qui montre que les chances de réaliser un bénéfice restent inférieures à 50 %. Dans certains cas particuliers, comme lorsque l’on joue 0 boule, 80 boules ou plus , la probabilité de tirer un profit est nulle.

Calcul d’aires et d’intégrales par la méthode de Monte Carlo

La méthode de Monte Carlo permet d’estimer l’aire sous une courbe en utilisant des points générés aléatoirement. Par exemple, cherchons à approximer l’intégrale de la fonction f(x) = sin(x) entre 0 et π. Pour cela, on génère un grand nombre de points répartis uniformément dans un rectangle couvrant la zone d’intérêt, dont la surface est facile à estimer. Ensuite, on détermine la proportion de ces points qui se trouvent sous la courbe en comparant leur coordonnée verticale à la valeur de la fonction au même abscisse. Cette proportion, multipliée par l’aire du rectangle, donne une estimation de l’intégrale.

Le pseudocode présenté ci-dessous décrit clairement les étapes de ce processus : définition de la fonction et des bornes d’intégration, génération des points aléatoires, vérification de leur position par rapport à la courbe, calcul de la proportion de points sous la courbe, et enfin estimation de l’aire.

1. Définir la fonction :
   f(x) = sin(x)
2. Initialiser une variable : 
   n_points_sous_courbe = 0
3. Définir les bornes d’intégration :
   a = 0
   b = π
4. Choisir le nombre de simulations : 
   n_simulations = 5000
5. Générer aléatoirement n_simulations points (x, y) {
   - x tiré uniformément entre a et b
   - y tiré uniformément entre 0 et 1
6. Pour chaque point (xᵢ, yᵢ) :
   - Si yᵢ < f(xᵢ), alors le point est sous la courbe; incrémenter n_points_sous_courbe
}
7. Calculer la proportion de points sous la courbe :
   proportion = n_points_sous_courbe / n_simulations
8. Estimer l’aire sous la courbe :
   aire_estimee = (b - a) × proportion

Les résultats obtenus à partir de la méthode de Monte Carlo montrent une estimation de l’intégrale de sin(x) sur l’intervalle [0, π] très proche de la valeur exacte, qui est 2.0. Avec 5 000 simulations, l’aire estimée est proche de cette valeur, illustrant la capacité de cette méthode probabiliste à fournir des approximations fiables. Bien que la précision puisse varier légèrement d’une simulation à l’autre en raison de l’aléa inhérent, l’écart entre l’estimation et la valeur exacte reste généralement faible dès que le nombre de points est suffisamment élevé.

Estimation du nombre π par la méthode de Monte Carlo

La méthode de Monte Carlo peut également être utilisée pour estimer la valeur de π. L’idée repose sur une expérience géométrique simple : on inscrit un quart de cercle de rayon 1 dans un carré de côté 1. En générant aléatoirement des points dans ce carré, on calcule la proportion de points qui tombent à l’intérieur du quart de cercle. Cette proportion est approximativement égale à π/4. En multipliant le résultat par 4, on obtient une estimation de π. À l’aide d’un ordinateur, on peut par exemple procéder ainsi :

Définir le nombre de simulations à effectuer (n_simulations)
Initialiser un compteur pour les points à l’intérieur du cercle (n_cercle = 0)

Pour i allant de 1 à n_simulations 
{
    Générer un point aléatoire (x, y) dans le carré 
    Calculer la distance au centre 
    Si distance ≤ 1 : Le point est dans le quart de cercle → incrémenter n_cercle
}

Calculer la proportion de points dans le quart de cercle : n_cercle / n_simulations
Estimation de π = 4 × cette proportion

L’estimation de π par la méthode de Monte Carlo dépend du nombre de points simulés. Avec un faible nombre de points, l’approximation peut s’écarter de la valeur réelle (π ≈ 3.14159). En revanche, à mesure que le nombre de simulations augmente, l’erreur diminue et l’estimation se rapproche progressivement de la véritable valeur de π. La Figure 3 illustre une estimation obtenue avec 5 000 simulations, donnant une valeur de 3.0976. En augmentant le nombre de simulations, on peut obtenir une estimation encore plus proche de la valeur réelle.

Conclusion

À travers les différents cas présentés dans ce blog, la méthode de Monte Carlo a démontré sa polyvalence et sa puissance. Si les exemples abordés ici sont relativement simples et pédagogiques, cette méthode est également utilisée pour résoudre des problèmes bien plus complexes dans des domaines tels que les mathématiques, la finance, l’ingénierie, et bien d’autres. En s’appuyant sur le hasard et la loi des grands nombres, elle transforme l’incertitude en un outil de calcul, permettant d’estimer des valeurs telles que des probabilités, des aires sous des courbes, etc. Ainsi, la méthode de Monte Carlo s’impose comme un outil précieux dans l’analyse de phénomènes aléatoires et la résolution de problèmes variés.