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Sélectionnez un exemple.
Explorez des simulations, outils interactifs et jeux éducatifs conçus pour mieux comprendre les probabilités, les sciences, l’ingénierie et différents phénomènes à travers l’expérimentation.
Sélectionnez les boules que vous souhaitez jouer et indiquez la mise en Gourdes associée à chacune. Une même boule peut être jouée plusieurs fois : dans ce cas, les mises sont automatiquement additionnées.
| Bénéfice net | Nombre de simulations | Probabilité |
|---|
| Gain brut | Nombre de simulations | Probabilité |
|---|
Cette simulation représente une chaîne de Markov à deux boîtes. À chaque étape, une boule est tirée dans la boîte actuelle. Boule bleue = rester dans la boîte actuelle ; boule verte = changer de boîte.
Vous pouvez exécuter les transitions une par une avec le bouton « +1 simulation », ou choisir librement un nombre N de simulations. Les graphiques, les proportions observées et la trajectoire sont actualisés progressivement.
À mesure que le nombre de simulations augmente, les proportions observées peuvent se rapprocher des probabilités stationnaires de la chaîne. Elles représentent la part de temps passée à long terme dans Boîte 1 et Boîte 2.
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On lance aléatoirement une aiguille sur une surface comportant des lignes parallèles régulièrement espacées. L’objectif est d’estimer, par simulation Monte Carlo, la probabilité que l’aiguille coupe l’une des lignes.
Dans cette simulation, la longueur de l’aiguille et l’espacement entre les lignes sont fixés à L = 1 et D = 1. On note N le nombre total de lancers et H le nombre de lancers pour lesquels l’aiguille coupe une ligne. L’estimation Monte Carlo est la fréquence relative des intersections.
Pour l’aiguille de Buffon, lorsque la longueur de l’aiguille est inférieure ou égale à l’espacement entre les lignes, la probabilité théorique d’intersection est :
Ici, puisque L = D = 1 :
La simulation Monte Carlo estime cette probabilité par :
Lorsque le nombre de simulations augmente, la fréquence observée doit progressivement se rapprocher de la probabilité théorique de 63,66 %.
Cette expérience utilise un cercle inscrit dans un carré pour estimer π à partir de points générés aléatoirement. Plus le nombre de simulations augmente, plus l’estimation tend généralement à se rapprocher de la valeur de référence de π.
On considère un cercle de rayon r inscrit dans un carré de côté 2r. Des points sont générés uniformément dans le carré. Certains tombent à l’intérieur du cercle, les autres à l’extérieur. La proportion de points situés dans le cercle permet d’estimer le rapport entre les deux surfaces.
Pour un cercle de rayon r, l’aire est :
Le carré qui contient exactement ce cercle possède un côté de longueur 2r. Son aire est donc :
Le rapport entre les deux surfaces est alors :
Avec des points générés uniformément dans le carré, cette proportion peut être approximée par la fréquence des points qui tombent à l’intérieur du cercle :
On obtient finalement :
Ce simulateur permet d’estimer la probabilité qu’il existe au moins un chemin fonctionnel entre le point A et le point D dans un réseau en forme de losange.
Chaque segment possède une probabilité de fonctionnement. À chaque simulation, l’état de chacun des segments est généré aléatoirement : il peut être fonctionnel ou défaillant. Le réseau est considéré fonctionnel s’il existe au moins un chemin constitué uniquement de segments fonctionnels permettant d’aller de A jusqu’à D.
Pour chaque segment, on connaît une probabilité de fonctionnement. Prenons par exemple le segment A–B. Avec les valeurs initiales du simulateur, sa probabilité de fonctionnement est égale à 0,90, soit 90 %.
Pour simuler l’état du segment, l’ordinateur génère un nombre aléatoire entre 0 et 1. Tous les nombres de cet intervalle sont équiprobables. On peut donc utiliser directement une partie de cet intervalle pour représenter la probabilité de fonctionnement.
Si le nombre obtenu se situe entre 0 et 0,90, le segment est déclaré fonctionnel. S’il se situe entre 0,90 et 1, il est déclaré défaillant.
Le programme tire au hasard le nombre 0,37. Comme 0,37 appartient à l’intervalle [0 ; 0,90], le segment A–B fonctionne.
Exemple 2 :Le programme tire 0,94. Comme 0,94 est supérieur à 0,90, le segment A–B est défaillant.
Cette procédure donne bien 90 % de chances au segment de fonctionner, car l’intervalle [0 ; 0,90] représente 90 % de l’intervalle complet [0 ; 1]. La même opération est répétée indépendamment pour chacun des cinq segments.
Une fois l’état des cinq segments déterminé, le programme explore le réseau et vérifie s’il existe au moins un chemin fonctionnel de A jusqu’à D.
Lorsque le nombre de simulations augmente, cette fréquence se stabilise progressivement autour de la probabilité réelle de connexion du réseau.
Le réseau possède cinq segments : A–B, A–C, B–D, C–D et B–C. Chaque segment peut prendre seulement deux états : fonctionnel ou défaillant.
Le nombre total de configurations possibles est donc :
La probabilité théorique peut être calculée exactement en examinant ces 32 configurations. Pour chacune d’elles, on calcule d’abord sa probabilité, puis on vérifie si A reste connecté à D.
A–B : fonctionnel
A–C : fonctionnel
B–D : défaillant
C–D : fonctionnel
B–C : défaillant
En supposant l’indépendance des segments, la probabilité de cette configuration est :
Avec les valeurs initiales :
Le programme effectue ce calcul pour chacune des 32 configurations. Il additionne ensuite uniquement les probabilités des configurations pour lesquelles il existe une connexion entre A et D.
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Comprendre comment des points générés au hasard peuvent être utilisés pour estimer l’aire sous une courbe.
Considérons la fonction f(x) = sin(x) entre 0 et π. L’intégrale représente géométriquement l’aire située entre la courbe et l’axe horizontal.
Dans cet exemple, nous connaissons déjà la valeur exacte : I = 2. Nous allons cependant utiliser une simulation de Monte-Carlo pour essayer de retrouver cette valeur.
Entre 0 et π, la fonction sin(x) varie entre 0 et 1. Toute la courbe peut donc être contenue dans un rectangle de largeur π et de hauteur 1.
Nous générons des points au hasard dans le rectangle. Chaque point possède une coordonnée x comprise entre 0 et π et une coordonnée y comprise entre 0 et 1.
Si y est inférieur ou égal à sin(x), le point appartient à l’aire que nous cherchons à estimer.
Si y est supérieur à sin(x), le point se trouve en dehors de l’aire recherchée.
Si les points sont distribués uniformément, la proportion de points situés sous la courbe permet d’estimer la proportion du rectangle occupée par l’aire sous sin(x).
Comme l’aire du rectangle est égale à π, l’intégrale peut être estimée à partir de la proportion de points situés sous la courbe.
Commencez avec quelques points, puis augmentez progressivement le nombre de simulations pour observer la convergence.
Cette simulation représente la vibration libre d’un système à un degré de liberté. La masse m, la rigidité k, l’amortissement c ainsi que les conditions initiales peuvent être modifiés.
Cette simulation illustre les principales étapes de la méthode des éléments finis pour une barre soumise à une charge axiale. La barre est discrétisée en plusieurs éléments linéaires à deux nœuds. Le programme construit les matrices élémentaires, assemble la matrice globale, applique les conditions aux limites et calcule les déplacements, les déformations et les contraintes.
Pour un élément de barre à deux nœuds, le déplacement à l’intérieur de l’élément est interpolé à partir des déplacements nodaux :
La relation déformation-déplacement s’écrit :
La matrice de rigidité élémentaire est obtenue par :
Après assemblage et application des conditions aux limites :
| Nœud | Position x (m) | Déplacement u (mm) |
|---|
| Élément | Nœud i | Nœud j | Déformation ε | Contrainte σ (MPa) | Effort normal N (kN) |
|---|
Choisissez un exemple, lisez les commentaires, modifiez le programme puis exécutez-le directement dans votre navigateur.
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Lisez les commentaires.
Changez une valeur ou une instruction.
Observez le résultat.
Il n'est pas nécessaire de tout mémoriser. Les exemples vous guideront progressivement.
#
Une ligne commençant par
# sert à expliquer le programme.
Python ne l'exécute pas.
=
x = 5 signifie :
la variable x prend la valeur 5.
print()
Affiche un texte ou une valeur dans la console.
if
Exécute une instruction uniquement si une condition est vraie.
for
Répète automatiquement une ou plusieurs instructions.
def
Permet de créer une opération que l'on pourra réutiliser.
Découvrez comment afficher quelque chose avec Python.
exercice.py
Préparation de Python…
Pour commencer, lisez simplement les instructions de haut en bas.
x = 5
x prend la valeur 5
y = x + 2
Python effectue le calcul
print(y)
Python affiche 7
Après if, for
ou def, certaines lignes
doivent être décalées vers la droite.
if age >= 18:
print("Majeur")
Les espaces devant print()
indiquent que cette instruction appartient
au bloc if.
Tous les modules fournis pour le laboratoire sont intégrés
directement dans cette page. Vous pouvez importer uniquement
le module nécessaire à votre calcul, par exemple
import EC2.materiaux as MAT.
EC2.materiaux
EC2.dispositionsconstructives
EC2.FS_ELS
EC2.FS_ELU
EC2.tranchant
EC2.adherence
EC2.fissuration
EC2.fleche
EC2.dalle
EC2.compression
EC2.instabilites
EC2.FC_ELU
EC2.fluage
EC2.retrait
EC2.mathBA
EC2.constantes
EC2.BA
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Une ligne commençant par
% sert à expliquer le programme.
Elle n'est pas exécutée.
x = 5 signifie que la variable
x reçoit la valeur 5.
Placé à la fin d'une instruction,
; évite l'affichage automatique
du résultat.
disp() permet d'afficher
un texte ou la valeur d'une variable.
if exécute une instruction
seulement si une condition est vraie.
for permet de répéter
automatiquement une ou plusieurs instructions.